推定②：1母集団の区間推定

学習目標

正規母集団の母平均（σ既知・未知）・母分散・母比率・相関係数の区間推定の手順と公式を習得する。

1. 母平均の区間推定

1.1 \(\sigma^2\) 既知の場合

母平均の信頼区間（σ既知）

\[\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

1.2 \(\sigma^2\) 未知の場合（最も多い）

母平均の信頼区間（σ未知）

\[\bar{X}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\]

\(n\ge30\) 程度あれば \(t\) 分布 \(\approx\) 標準正規分布となるため \(z\) で近似することもある。

2. 母分散の区間推定

母分散の信頼区間

\[\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\; \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]\]

カイ二乗分布は非対称なため左右の確率点が異なる。\(\chi^2_{\alpha/2}\) が大きい方（分母が小さい→区間の上限）、\(\chi^2_{1-\alpha/2}\) が小さい方（区間の下限）。

3. 母比率の区間推定

母比率の信頼区間（正規近似）

\[\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

4. 例題

【例題 19-1】母平均の区間推定（σ未知）

\(n=16\)、\(\bar{x}=50\)、\(s=8\)（正規母集団）。母平均の95%信頼区間を求めよ。（\(t_{0.025}(15)=2.131\)）

解答

SE \(=8/\sqrt{16}=2\)
\(50\pm2.131\times2=50\pm4.262\)
\([45.74,\;54.26]\)

【例題 19-2】母比率の区間推定

1000人中380人が賛成。母比率の95%信頼区間を求めよ。（\(z_{0.025}=1.96\)）

解答

\(\hat{p}=0.38\)
SE \(=\sqrt{0.38\times0.62/1000}\approx0.01535\)
\(0.38\pm1.96\times0.01535=0.38\pm0.0301\)
\([0.350,\;0.410]\)

【例題 19-3】母分散の区間推定

\(n=10\)、\(s^2=16\)（正規母集団）。母分散の95%信頼区間を求めよ。（\(\chi^2_{0.025}(9)=19.02\)、\(\chi^2_{0.975}(9)=2.70\)）

解答

\((n-1)s^2=144\)
下限：\(144/19.02\approx7.57\)、上限：\(144/2.70\approx53.33\)
\([7.57,\;53.33]\)

5. 練習問題

問題 1

\(n=25\)、\(\bar{x}=100\)、\(s=15\)（正規母集団）。母平均の95%信頼区間を求めよ。（\(t_{0.025}(24)=2.064\)）

問題 2

\(n=400\)、\(\hat{p}=0.6\)。母比率の99%信頼区間を求めよ。（\(z_{0.005}=2.576\)）

問題 3

信頼区間の幅を半分にするには標本サイズを何倍にすればよいか。