推定①：点推定・区間推定の概念

学習目標

点推定・区間推定・推定量と推定値の違い、不偏性・一致性の定義、信頼区間の正しい解釈を理解する。

種類	内容	例
点推定	1つの値でパラメータを推定	\(\hat{\mu}=\bar{x}=72.3\)
区間推定	区間でパラメータを推定	\([69.1,\ 75.5]\)（信頼区間）

不偏性

\[E[\hat{\theta}]=\theta \quad \text{（すべての } n \text{ で）}\]

一致性

\[\hat{\theta}\xrightarrow{P}\theta \quad (n\to\infty)\]

例：\(\bar{X}\) は \(\mu\) の不偏かつ一致推定量。不偏分散 \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2\) は \(\sigma^2\) の不偏推定量。

\(n\) で割る標本分散 \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2\) は \(\sigma^2\) を過小評価する（偏りがある）。試験では \(n-1\) で割る不偏分散を使う。

信頼区間 \([L,U]\)：真のパラメータが含まれると期待される区間。
信頼係数：同じ手続きを繰り返したとき、区間が真の値を含む割合（95%など）。

正しい解釈：「同じ手続きで100回区間を作ると約95回は真の値を含む」。「この区間が真の値を95%の確率で含む」とは意味が異なる。試験で問われることが多い。

【例題 18-1】不偏性の確認

母集団 \(\{1,3,5\}\)（母平均 \(\mu=3\)）から復元抽出で \(n=2\) の標本を取るとき、\(\bar{X}\) の期待値を求め不偏推定量かどうか確認せよ。

解答

可能な標本（各確率1/9）の \(\bar{X}\) の値：1,2,3,2,3,4,3,4,5
\(E[\bar{X}]=(1+2+3+2+3+4+3+4+5)/9=27/9=\mathbf{3}=\mu\) ✓
\(\bar{X}\) は \(\mu\) の不偏推定量。

【例題 18-2】信頼区間の解釈

「母平均の95%信頼区間は [68.5, 75.5]」について正しい解釈はどれか。
①母平均が68.5〜75.5に含まれる確率は95%
②この手続きを繰り返すと約95%の区間が母平均を含む
③信頼係数95%は有意水準5%に対応する

解答

正解：②と③
①誤：母平均は固定した定数。「確率95%」は区間（確率変数）が真の値を含む頻度の記述。②正：頻度論的な正しい解釈。③正：信頼係数 \(1-\alpha=0.95\) は有意水準 \(\alpha=0.05\) に対応。

問題 1

不偏推定量の定義として正しいものはどれか。
①標本サイズが大きくなるほど精度が上がる推定量
②推定量の期待値が真のパラメータと一致する推定量
③推定値のばらつきが最も小さい推定量
④95%の確率で真の値を含む区間を与える推定量

問題 2

不偏分散で \(n-1\) で割る理由を説明せよ。

問題 3

一致性と不偏性の違いを説明し、「一致だが不偏でない推定量」の例を示せ。