学習目標
2つの独立な正規母集団における母平均の差・母分散の比・母比率の差の区間推定を習得する。等分散検定との関係も理解する。1. 母平均の差の区間推定
1.1 分散既知
1.2 分散未知・等分散仮定（プール分散）
1.3 分散未知・等分散を仮定しない（Welch）
2. 母分散の比の区間推定
3. 母比率の差の区間推定
区間が0を含まなければ2つの母比率に有意差がある。
4. 例題
【例題 20-1】母平均の差の区間推定（等分散）
A群：\(n_1=10\)、\(\bar{x}_1=70\)、\(s_1^2=20\)、B群：\(n_2=12\)、\(\bar{x}_2=65\)、\(s_2^2=24\)。等分散を仮定し \(\mu_1-\mu_2\) の95%信頼区間を求めよ。（\(t_{0.025}(20)=2.086\)）
解答
\(s_p^2=(9\times20+11\times24)/20=22.2\)、\(s_p\approx4.712\)
SE \(=4.712\sqrt{1/10+1/12}\approx2.018\)
\((70-65)\pm2.086\times2.018=5\pm4.21\)
\([0.79,\;9.21]\)（0を含まないため \(\mu_1>\mu_2\) が有意）
【例題 20-2】母比率の差の区間推定
都市A（\(n_1=500\)、賛成200人）、都市B（\(n_2=400\)、賛成140人）。\(p_1-p_2\) の95%信頼区間を求めよ。（\(z_{0.025}=1.96\)）
解答
\(\hat{p}_1=0.40\)、\(\hat{p}_2=0.35\)
SE \(\approx0.0324\)
\((0.40-0.35)\pm1.96\times0.0324=0.05\pm0.0635\)
\([-0.013,\;0.113]\)（0を含むため有意差なし）
5. 練習問題
問題 1
A組（\(n_1=9\)、\(\bar{x}_1=80\)、\(s_1^2=36\)）、B組（\(n_2=9\)、\(\bar{x}_2=74\)、\(s_2^2=36\)）。等分散を仮定し \(\mu_1-\mu_2\) の95%信頼区間を求めよ。（\(t_{0.025}(16)=2.120\)）
解答
\(s_p^2=36\)、\(s_p=6\)、SE \(=6\sqrt{2/9}\approx2.828\)
\((80-74)\pm2.120\times2.828=6\pm5.995\)
\([0.005,\;11.995]\)問題 2
母分散の比の95%信頼区間が [1.5, 8.0] のとき何が言えるか。
解答
区間が
1を含まない（下限1.5>1）ため、\(\sigma_1^2\ne\sigma_2^2\)（分散が異なる）と推定できる。母平均の差の検定では等分散仮定が成立せず、Welchの \(t\) 検定を使うべき。
問題 3
等分散 \(t\) 検定と Welch の \(t\) 検定の違いを述べ、どちらをデフォルトとすべきか説明せよ。
解答
等分散 \(t\) 検定：\(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) を仮定。プール分散使用、自由度 \(n_1+n_2-2\)。
Welch の \(t\) 検定：等分散を仮定しない。自由度を近似計算。
等分散の事前確認が困難なため、
Welch の \(t\) 検定をデフォルトとする方が安全。等分散が真でも Welch 法での損失は小さい。