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確率分布

確率モデル 6-3 ｜ キーワード：二項・ポアソン・幾何・一様・指数・正規・超幾何・負の二項分布

学習目標

二項・ポアソン・正規・超幾何・幾何・一様・指数分布の定義・パラメータ・平均・分散を習得し、確率計算に応用できるようになる。

1. 主要な確率分布一覧

分布名パラメータ平均分散用途
ベルヌーイ\(p\)\(p\)\(p(1-p)\)1回の2値試行
二項分布 \(B(n,p)\)\(n,p\)\(np\)\(np(1-p)\)n回独立試行の成功回数
ポアソン分布 \(Po(\lambda)\)\(\lambda\)\(\lambda\)\(\lambda\)稀な事象の発生回数
幾何分布\(p\)\(1/p\)\((1-p)/p^2\)初めて成功するまでの試行数
一様分布\(a,b\)\((a+b)/2\)\((b-a)^2/12\)等確率
指数分布\(\lambda\)\(1/\lambda\)\(1/\lambda^2\)待ち時間・寿命
正規分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)\(\mu,\sigma^2\)\(\mu\)\(\sigma^2\)自然現象・中心極限定理
超幾何分布\(N,K,n\)\(nK/N\)—非復元抽出

2. 二項分布 \(B(n,p)\)

二項分布の確率関数
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\ldots,n\]
\(n\) が大きく \(p\) が小さいとき（目安：\(np<5\)）、ポアソン分布 \(Po(np)\) で近似可能。

3. ポアソン分布 \(Po(\lambda)\)

ポアソン分布の確率関数
\[P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots\]

特徴：平均と分散が等しい（\(E[X]=V[X]=\lambda\)）。

4. 正規分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)

正規分布の密度関数
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

標準化：\(Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)\)

5. 例題

【例題 15-1】二項分布

打率0.3の打者が5打席立つ。(1)ちょうど2本ヒットの確率 (2)1本以上ヒットの確率

解答
\(X\sim B(5,0.3)\)
(1) \(P(X=2)=\binom{5}{2}(0.3)^2(0.7)^3=10\times0.09\times0.343=\mathbf{0.3087}\)
(2) \(P(X\ge1)=1-(0.7)^5=1-0.16807=\mathbf{0.832}\)
【例題 15-2】正規分布と標準化

重量が \(N(500,10^2)\) の製品。(1)\(P(X\le490)\) (2)\(P(480\le X\le520)\)
（\(P(0\le Z\le1)=0.3413\)、\(P(0\le Z\le2)=0.4772\)）

解答
(1) \(P(X\le490)=P(Z\le-1)=0.5-0.3413=\mathbf{0.1587}\)
(2) \(P(480\le X\le520)=P(-2\le Z\le2)=2\times0.4772=\mathbf{0.9544}\)

6. 練習問題

問題 1

コインを10回投げる。(1)分布名と E[X]・V[X] (2)ちょうど5回表の確率（\(\binom{10}{5}=252\)）

問題 2

コールセンターに1分間平均3件の電話（ポアソン分布）。1分間に0件の確率は？（\(e^{-3}\approx0.0498\)）

問題 3

\(N(60,8^2)\) に従う \(X\) について \(P(52\le X\le76)\) を求めよ。（\(P(0\le Z\le1)=0.3413\)、\(P(0\le Z\le2)=0.4772\)）

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