確率変数

確率モデル 6-2 ｜キーワード：離散・連続型確率変数・期待値・分散・共分散・確率変数の和と差

学習目標

確率変数の期待値・分散の計算、線形変換と確率変数の和・差の性質を理解する。2変数の共分散・相関係数も習得する。

種類	説明	例
離散型	飛び飛びの値をとる	サイコロの目、合格者数
連続型	連続した値をとる	身長、反応時間

期待値（離散型）

\[E[X]=\sum_i x_i p_i\]

分散

\[V[X]=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-(E[X])^2\]

\(Y=aX+b\) のとき

\[E[aX+b]=aE[X]+b,\quad V[aX+b]=a^2V[X]\]

和の期待値（常に成立）

\[E[X+Y]=E[X]+E[Y]\]

和の分散（独立のとき）

\[V[X\pm Y]=V[X]+V[Y]\]

\(V[X-Y]=V[X]+V[Y]\) に注意！マイナスではなくプラスになる（分散は非負）。

一般の場合

\[V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\,\text{Cov}(X,Y)\]

共分散

\[\text{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E[XY]-E[X]E[Y]\]

相関係数

\[\rho=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V[X]}\cdot\sqrt{V[Y]}}\]

\(X,Y\) が独立なら \( ext{Cov}(X,Y)=0\)（逆は一般に成立しない）。

【例題 14-1】期待値・分散の計算

確率変数 X の分布：x=0/p=0.1, x=1/p=0.3, x=2/p=0.4, x=3/p=0.2。期待値と分散を求めよ。

解答

期待値：\(E[X]=0(0.1)+1(0.3)+2(0.4)+3(0.2)=1.7\)
\(E[X^2]=0+0.3+1.6+1.8=3.7\)
分散：\(V[X]=3.7-1.7^2=3.7-2.89=\mathbf{0.81}\)

【例題 14-2】確率変数の和

独立な \(X,Y\) について \(E[X]=3,\;V[X]=4,\;E[Y]=2,\;V[Y]=9\)。\(Z=2X-Y+5\) の期待値・分散を求めよ。

解答

\(E[Z]=2\times3-2+5=\mathbf{9}\)
\(V[Z]=4\times4+1^2\times9=16+9=\mathbf{25}\)（定数5は分散に影響しない）

問題 1

サイコロを1回振る。目の値を \(X\) とする。(1)\(E[X]\) (2)\(V[X]\) (3)\(Y=3X-1\) の期待値と分散

問題 2

独立な \(X,Y\) で \(V[X]=5,\;V[Y]=3\) のとき \(V[X+Y]\) と \(V[X-Y]\) を求めよ。

問題 3

\(E[X]=2,\;E[Y]=3,\;E[XY]=8,\;V[X]=4,\;V[Y]=9\) のとき共分散と相関係数を求めよ。