学習目標
統計ソフトウェア（R・SPSS等）の出力を正確に読み取り、回帰分析・分散分析の結果を解釈できるようになる。1. 回帰分析の出力の読み方
| 出力項目 | 意味 |
|---|
| Estimate（係数） | 各回帰係数の推定値 \(\hat{\beta}\) |
| Std. Error（標準誤差） | 係数の推定の標準誤差 SE(\(\hat{\beta}\)) |
| t value（t値） | \(\hat{\beta}/\text{SE}\)（\(t\) 検定統計量） |
| Pr(>|t|)（p値） | 両側 \(t\) 検定の p値。\(p<0.05\) で有意（*） |
| R-squared（\(R^2\)） | 決定係数（モデルの説明力） |
| Adjusted R-squared | 自由度調整済み決定係数 \(\bar{R}^2\) |
| Residual standard error | 推定の標準誤差 \(s_e=\sqrt{MSE}\) |
| F-statistic（F値） | モデル全体の F 検定（\(H_0:\text{すべての係数}=0\)） |
有意水準の目安：* は \(p<0.05\)、** は \(p<0.01\)、*** は \(p<0.001\)
2. 分散分析表（ANOVA表）の読み方
| Source | SS | df | MS | F | p値 |
|---|
| 処理（回帰/群間） | SSA | \(k-1\) | MSA | MSA/MSE | 検定の p |
| 誤差（残差） | SSE | \(N-k\) | MSE | — | — |
| 全体 | SST | \(N-1\) | — | — | — |
3. 読み取りの注意点
- 係数の符号（正・負）、大きさ、有意性（p値）をあわせて解釈
- モデル比較には \(\bar{R}^2\) を使い、\(R^2\) の絶対値で判断しない
- モデル全体のF検定と個々の係数の \(t\) 検定は別物
- 誤差の自由度から n を逆算できる：\(n-k-1=\text{誤差df}\Rightarrow n=\text{誤差df}+k+1\)
4. 例題
【例題 27-1】回帰分析出力の読み取り
Rの出力（概要）：切片=10.5（p=0.00012,***）、\(x_1\)=3.2（p=0.00120,**）、\(x_2\)=−1.5（p=0.230）。\(R^2=0.72\)、Adj \(R^2=0.686\)、誤差の自由度=17（\(k=2\)）。(1)有意な変数は？ (2)\(x_1=2,x_2=3\) のとき \(\hat{y}\) は？ (3)\(n\) は？
解答
(1)
\(x_1\) のみ（\(p=0.00120<0.05\)）。\(x_2\) は \(p=0.23\) で有意でない。
(2) \(\hat{y}=10.5+3.2\times2+(-1.5)\times3=10.5+6.4-4.5=\mathbf{12.4}\)
(3) 誤差df \(=n-k-1=17\) なので \(n=17+2+1=\mathbf{20}\)
【例題 27-2】分散分析出力の読み取り
一元配置分散分析の出力：群間SS=84, df=3, MS=28, F=7.0, p=0.002。群内SS=64, df=16, MS=4。(1)\(k\) と \(N\) は？ (2)有意水準1%での結論は？
解答
(1) 群間df \(=k-1=3\) なので \(k=\mathbf{4}\)。全体df \(=N-1=19\) なので \(N=\mathbf{20}\)（各群5観測）。
(2) \(p=0.002<0.01\) なので有意水準1%で
帰無仮説を棄却。4群の母平均に有意な差がある。
5. 練習問題
問題 1
重回帰出力で「Adjusted R-squared=0.65, R-squared=0.72」。(1)\(\bar{R}^2\) が \(R^2\) より小さい理由 (2)説明変数を1つ追加したとき \(R^2\) と \(\bar{R}^2\) はどう変わるか
解答
\(R^2\) は変数の数にペナルティを与えるため \(\bar{R}^2\) の方が小さくなる。
(2) \(R^2\) は
必ず上がるか同じ。\(\bar{R}^2\) は変数が有用なら上がるが、不要な変数なら
下がることがある。
問題 2
「p=0.048で有意なので効果が証明された」という主張に対し、統計的に正確なコメントを述べよ。
解答
①
「証明」ではない：統計的有意性は「\(H_0\) のもとでこのデータが得られる確率が低い」ことを示すだけ。第1種の過誤（偽陽性）の可能性がある。
②
統計的有意性と実務的重要性は別：\(p<0.05\) でも効果量が小さく実務的に無意味な場合がある。
③\(p=0.048\) は \(\alpha=0.05\) のボーダーラインに近く、再現性の観点で注意が必要。
問題 3
出力で「F-statistic: 15.3 on 3 and 46 DF, p-value: 0.0000053」。(1)\(k\) と \(n\) は？ (2)このF検定は何を検定しているか？
解答
(1) 分子df \(=k=\mathbf{3}\)、分母df \(=n-k-1=46\) なので \(n=46+3+1=\mathbf{50}\)。
(2) \(H_0:\beta_1=\beta_2=\beta_3=0\)（
モデル全体として説明変数が有意か）を検定。\(p\approx0\) で有意。