実験計画（一元配置分散分析）

学習目標

一元配置実験の設計と分散分析の手順を理解する。変動の分解・F比の計算・分散分析表の作成・読み取りを習得する。

1. 一元配置実験（One-way ANOVA）

1つの要因が \(k\) 水準あり、各水準で複数回測定する実験。

\(H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k\) vs \(H_1\)：少なくとも1つの \(\mu_i\) が異なる

\(k=2\) のとき一元配置分散分析は2標本 \(t\) 検定と等価（\(F=T^2\)）。

2. 変動の分解

変動の分解

\[\underbrace{\sum_i\sum_j(y_{ij}-\bar{y})^2}_{\text{全変動 SST}} = \underbrace{\sum_i n_i(\bar{y}_i-\bar{y})^2}_{\text{群間変動 SSA}} + \underbrace{\sum_i\sum_j(y_{ij}-\bar{y}_i)^2}_{\text{群内変動（誤差）SSE}}\]

変動要因	平方和	自由度	平均平方
群間（処理）	SSA	\(k-1\)	\(MSA=SSA/(k-1)\)
群内（誤差）	SSE	\(N-k\)	\(MSE=SSE/(N-k)\)
全体	SST	\(N-1\)	—

3. F比と検定

F比

\[F=\frac{MSA}{MSE}\sim F(k-1,\;N-k)\]

\(H_0\) が正しければ \(F\approx1\)。\(F\) が大きいほど群間の差が誤差より大きい。棄却域：\(F>F_\alpha(k-1, N-k)\)。

F比の直感：分子MSAは「処理効果＋誤差」、分母MSEは「誤差のみ」。F比が大きいほど処理効果が誤差より目立つ。

4. 分散分析の前提条件と多重比較

正規性：各群が正規分布に従う
等分散性：各群の分散が等しい
独立性：各観測値が独立

分散分析でF検定が有意になった後、どの群間に差があるかを調べるために多重比較（Tukey法、Bonferroni法など）を行う。

5. 例題

【例題 26-1】一元配置分散分析

3種の肥料を各4区画に施して収量（kg）を測定。各群平均：A=10, B=13, C=16、全体平均=13。SSA=72、SSE=36。分散分析表を完成させ有意水準5%で検定せよ。（\(F_{0.05}(2,9)=4.26\)）

解答

自由度：群間 \(k-1=2\)、群内 \(N-k=12-3=9\)
MSA \(=72/2=36\)、MSE \(=36/9=4\)
\(F=36/4=9.0\)
棄却域：\(F>4.26\)
\(9.0>4.26\) なので \(H_0\) を棄却。3種の肥料間に有意な収量の差がある。

【例題 26-2】多重比較の必要性

分散分析でF検定が有意になった。「各群の組み合わせを個別に \(t\) 検定すればよい」という主張の問題点を述べよ。

解答

\(k\) 群の中から2群ずつ比較すると比較回数は \(\binom{k}{2}\) 回になり、各検定を独立に \(\alpha=5\%\) で行うとファミリーワイズエラーレートが5%を超えてしまう。例：\(k=4\) なら6回比較で誤棄却確率 \(\approx1-(0.95)^6\approx26\%\)。多重比較法はこの問題を制御する。

6. 練習問題

問題 1

4群（\(k=4\)）、各群5観測（\(N=20\)）の一元配置分散分析の自由度（群間・群内・全体）を答えよ。

問題 2

\(F=1.2\)、\(F_{0.05}(3,16)=3.24\)。結論を述べよ。

問題 3

SST=100、SSA=60、\(k=3\)、\(N=15\) のとき F比を計算せよ。

← 回帰分析（重回帰）次：統計ソフトウェアの活用 →