仮説検定②：1母集団の検定

学習目標

母平均・母分散・母比率に関する1母集団の仮説検定の手順と検定統計量を習得する。

z検定統計量

\[Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\]

t検定統計量

\[T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\]

棄却域（両側）：\(|T|>t_{\alpha/2}(n-1)\)。片側：\(T>t_\alpha\) または \(T<-t_\alpha\)。

カイ二乗検定統計量

\[\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)\]

両側棄却域：\(\chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\) または \(\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(n-1)\)

z検定統計量

\[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\sim N(0,1)\]

分母に \(p_0\) を使う（区間推定では \(\hat{p}\) を使う）。検定は「\(H_0\) のもとで」統計量を計算するため。

【例題 22-1】母平均の検定（σ未知）

\(n=16\)、\(\bar{x}=505\)、\(s=10\)（正規母集団）。\(H_0:\mu=500\) vs \(H_1:\mu\ne500\) を有意水準5%で検定せよ。（\(t_{0.025}(15)=2.131\)）

解答

\(T=(505-500)/(10/\sqrt{16})=5/2.5=2.0\)
棄却域：\(|T|>2.131\)
\(|2.0|=2.0<2.131\) なので \(H_0\) を棄却できない。平均が500gでないとは言えない。

【例題 22-2】母比率の検定

\(n=400\)、\(\hat{p}=0.54\)。\(H_0:p=0.50\) vs \(H_1:p\ne0.50\) を有意水準5%で検定せよ。（\(z_{0.025}=1.96\)）

解答

\(Z=(0.54-0.50)/\sqrt{0.50\times0.50/400}=(0.04/0.025)=1.6\)
棄却域：\(|Z|>1.96\)
\(1.6<1.96\) なので \(H_0\) を棄却できない。

【例題 22-3】母分散の検定

\(n=21\)、\(s^2=15\)（正規母集団）。\(H_0:\sigma^2=9\) vs \(H_1:\sigma^2>9\) を有意水準5%で検定せよ。（\(\chi^2_{0.05}(20)=31.41\)）

解答

\(\chi^2=(21-1)\times15/9=300/9\approx33.33\)
棄却域（右片側）：\(\chi^2>31.41\)
\(33.33>31.41\) なので \(H_0\) を棄却。分散が9より大きい。

問題 1

\(n=9\)、\(\bar{x}=52\)、\(s=6\)（正規母集団）。\(H_0:\mu=50\) vs \(H_1:\mu>50\) を有意水準5%で片側検定せよ。（\(t_{0.05}(8)=1.860\)）

問題 2

母比率の検定で分母に \(p_0\) を使う理由を述べよ。

問題 3

\(n=25\)、\(s^2=16\)（正規母集団）。\(H_0:\sigma^2=10\) vs \(H_1:\sigma^2\ne10\) を有意水準5%で検定せよ。（\(\chi^2_{0.025}(24)=39.36\)、\(\chi^2_{0.975}(24)=12.40\)）