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2変数以上 3-2 ｜キーワード：度数表・2元クロス表・期待度数・条件付き比率

学習目標

質的変数間の関連を度数表・クロス集計表で分析できるようになる。期待度数の計算と独立性の概念を理解する。

血液型	A	B	O	AB	合計
度数	40	25	30	5	100
相対度数	0.40	0.25	0.30	0.05	1.00

2つの質的変数を行・列に配置し各組み合わせの度数を集計した表。

男性の喫煙率：40/100＝40%、女性：20/100＝20%。比率が行によって異なるため関連がある可能性がある。

2変数が独立と仮定したときに期待される度数。

期待度数

\[E_{ij} = \frac{(\text{第}i\text{行合計})\times(\text{第}j\text{列合計})}{\text{総度数}}\]

上表の（男性・喫煙あり）の期待度数：\((100 imes60)/200=30\)。観測値40 > 期待値30 → 男性に喫煙傾向が強いことが示唆される。

2変数が独立ならば、各行の条件付き比率（行内割合）はどの行でも等しくなる。

【例題 7-1】クロス表の読み取り

合否とコーチングの有無：予備校通い→合格35・不合格15（計50）、独学→合格20・不合格30（計50）、合計→合格55・不合格45（計100）。(1)予備校通いの合格率 (2)（合格・予備校通い）セルの期待度数 (3)独立か判断

解答

(1) 35/50 ＝ 70%（独学は40%）
(2) (50×55)/100 ＝ 27.5
(3) 独立なら両グループの合格率は55%のはず。実際70%≠40%なので独立でない（関連がある）。

問題 1

クロス表で観測度数と期待度数が完全に一致するとき、2変数の関係はどうなるか。

問題 2

3×2のクロス表の独立性検定の自由度を求めよ。

問題 3

以下のクロス表で(1)A群の陽性率 (2)全体の陽性率 (3)「A群・陽性」の期待度数を求めよ。