中心と散らばりの活用

1変数データ 2-4 ｜キーワード：偏差・z得点・標準化・変動係数・指数化・偏差値

学習目標

標準化（z得点）によって異なる単位・スケールのデータを比較できるようになる。変動係数と指数化の意味と計算を習得する。

偏差

\[\text{偏差}_i = x_i - \bar{x}\]

重要な性質：偏差の総和は必ず0。

偏差の総和

\[\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0\]

異なる単位・スケールのデータを平均0・標準偏差1に変換する操作。

z得点

\[z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s}\]

標準化後の性質：平均＝0、標準偏差＝1、分散＝1

偏差値は z 得点の応用：偏差値＝ 10z + 50。平均が50、標準偏差が10のスケール。

単位の異なるデータのばらつきを比較するための相対的指標。

変動係数

\[\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%\]

平均が0や負の値になる変数には使えない。

ある基準時点の値を100として相対的な大きさを表す方法。

指数

\[\text{指数}_t = \frac{y_t}{y_{\text{基準}}} \times 100\]

例：消費者物価指数（CPI）は基準年の物価水準を100として各年を表す。

【例題 5-1】z得点による比較

Aさんは数学（平均70, 標準偏差10）で84点、英語（平均60, 標準偏差15）で81点。どちらの成績が相対的に高いか。

解答

数学：\(z=(84-70)/10=1.4\)
英語：\(z=(81-60)/15=1.4\)
どちらも \(z=1.4\) で同じ相対的位置。

【例題 5-2】変動係数による比較

工場A（重量）：平均100g、標準偏差5g。工場B（長さ）：平均20cm、標準偏差2cm。相対的ばらつきを比較せよ。

解答

工場A：\(\text{CV}_A=5/100\times100=5\%\)
工場B：\(\text{CV}_B=2/20\times100=10\%\)
工場Bの方が相対的ばらつきが大きい。単位が異なるので標準偏差を直接比べることはできない。

【例題 5-3】偏差値の計算

試験（平均60, 標準偏差12）でTさんが72点を取った。偏差値を求めよ。

解答

\(z=(72-60)/12=1.0\)、偏差値 \(=10\times1.0+50=\mathbf{60}\)

問題 1

データ：10,20,30,40,50（平均＝30）の各偏差を求め、偏差の合計が0になることを確認せよ。

問題 2

Bさんは国語（平均55, 標準偏差8）で71点、理科（平均65, 標準偏差20）で97点。どちらが相対的に高い成績か。

問題 3

2015年を基準（＝100）として2020年の指数が120のとき、この間の変化率を求めよ。